CF295D Greg and Caves

首先说一下这题很值得做。

$Update \times n\ on \ 2021.6.30$。

首先题目我们就直接分成两个三角形来写。

之后发现，其实上一行的具体位置不用知道，因为我们枚举当前的长度是必须 $\ge$ 上一次的长度的，然后其所有可能的位置也是很好算的。

我们就开始 $Dp$，设 $f(i,j)$ 表示从上到下计算到第 $i$ 行，当前行的长度 $\le j$ 的方案数。

很显然，我们考虑每一次找一个长度为 $j$ 的方案数。

$$f(i,j) = \sum_{c = 2} ^ m f(i - 1, c) \times (j - c + 1) + 1$$

注意外面的 $ + 1$ 表示在这边重新开一行。

然后我们考虑计算答案，发现直接通过枚举中间的断点然后两个 $f$ 拼起来是错的。因为存在这样的情况。

RDiFnx.png

那么我们不妨钦定一下中间这一段的长度，之后让两边严格小于即可，同时保证这个长度为 $1$，方案数就是 $f(i, c) - f(i -1, c)$。

然后我们直接暴力枚举计算即可。

$$
\begin{aligned}
\sum_{i = 1} ^ n \sum_{j = i} ^ n \sum_{k =2} ^ m (dp(i, k) - dp(i - 1, k)) \times (dp(n - j + 1, k) - dp(n - j, k)) \times (m - k + 1) \
\sum_{k = 2} ^ m \sum_{i = 1} ^ n (dp(i, k) - dp(i - 1, k)) \sum_{j = i} ^ n (dp(n - j + 1, k) - dp(n - j, k))\times (m - k + 1) \
\end{aligned}
$$

但是真的只有这样吗？

在更深的理解意义上，我们思考我们的 $f$ 记录了什么东西。就是顶点在 $1 \sim i$ 的所有情况。

那么我们考虑一下为什么要枚举 $j$，而不是直接计算，这其实是为了钦定中间长度为 $k$ 的部分是 $n - i - j$ 这一段。

这边需要更加深刻地理解。

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#include <bits/stdc++.h>
/*
* @ legendgod
* 纵使前路是无底深渊，下去了也是前程万里
*/
using namespace std;

//#define Fread
#define Getmod

#ifdef Fread
char buf[1 << 21], *iS, *iT;
#define gc() (iS == iT ? (iT = (iS = buf) + fread (buf, 1, 1 << 21, stdin), (iS == iT ? EOF : *iS ++)) : *iS ++)
#endif // Fread

template <typename T>
void r1(T &x) {
	x = 0;
	char c(getchar());
	int f(1);
	for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) if(c == '-') f = -1;
	for(; '0' <= c && c <= '9';c = getchar()) x = (x * 10) + (c ^ 48);
	x *= f;
}

#ifdef Getmod
const int hater  = 1e9 + 7;
template <int mod>
struct typemod {
    int z;
    typemod(int a = 0) : z(a) {}
    inline int inc(int a,int b) const {return a += b - mod, a + ((a >> 31) & mod);}
    inline int dec(int a,int b) const {return a -= b, a + ((a >> 31) & mod);}
    inline int mul(int a,int b) const {return 1ll * a * b % mod;}
    typemod<mod> operator + (const typemod<mod> &x) const {return typemod(inc(z, x.z));}
    typemod<mod> operator - (const typemod<mod> &x) const {return typemod(dec(z, x.z));}
    typemod<mod> operator * (const typemod<mod> &x) const {return typemod(mul(z, x.z));}
    typemod<mod>& operator += (const typemod<mod> &x) {*this = *this + x; return *this;}
    typemod<mod>& operator -= (const typemod<mod> &x) {*this = *this - x; return *this;}
    typemod<mod>& operator *= (const typemod<mod> &x) {*this = *this * x; return *this;}
    int operator == (const typemod<mod> &x) const {return x.z == z;}
    int operator != (const typemod<mod> &x) const {return x.z != z;}
};
typedef typemod<hater> Tm;
#endif

template <typename T,typename... Args> inline void r1(T& t, Args&... args) {
    r1(t);  r1(args...);
}

//#define int long long
const int maxn = 2e3 + 5;
const int maxm = maxn << 1;

int n, m;

Tm f[maxn][maxn], g[maxn][maxn];

signed main() {
//    freopen("S.in", "r", stdin);
//    freopen("S.out", "w", stdout);
    int i, j;
    r1(n, m);
    for(i = 2; i <= m; ++ i) f[1][i] = 1;
    for(i = 2; i <= n; ++ i) {
        Tm x(0), y(0);
        for(j = 2; j <= m; ++ j) {
            x += f[i - 1][j];
            y += f[i - 1][j] * j;
            f[i][j] = x * (j + 1) - y + 1;
        }
    }
    for(int c = 2; c <= m; ++ c) {
        for(i = n; i; -- i) {
            g[i][c] = g[i + 1][c] + (f[n - i + 1][c] - f[n - i][c]);
        }
    }
    Tm ans(0);
    for(int c = 2; c <= m; ++ c) {
        for(i = 1; i <= n; ++ i) {
            ans += (f[i][c] - f[i - 1][c]) * g[i][c] * (m - c + 1);
        }
    }

    printf("%d\n", ans.z);

	return 0;
}